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Zerfallszeit

In diesem Dossier geht es um eine Funktion, die entweder rasant ins Unendliche wachsen oder unendlich langsam auf Null abfallen kann, und die sich überall in der Physik unglaublich nützlich macht, weil sich mit ihr eine große Klasse von Differentialgleichungen lösen lässt.

Ein bisschen Differentialrechnung

Für dieses Modul ist daher derjenige im Vorteil, der sich schon ein bisschen in Differentialrechung auskennt und zum Beispiel weiß, was eine Tangente ist oder schon mal eine Funktion abgeleitet hat. Falls nicht, dann ist das aber auch kein Drama: Wir erklären alles Wichtige.

Am Ende weiß jeder, wie die Allround-Funktion aussieht und wie man das Zerfallsgesetz für radioaktive Isotope mit einer Tasse Cappuccino herleitet. Außerdem können wir ein paar Atome zerfallen lassen - viel Spaß dabei!

Wie schnell wächst eine Käferpopulation? Wie viele Käfer gibt es in einer Woche, in zehn Wochen, in...? Auch diese Fragen kann man mit der geheimnisvollen Funktion beantworten, die wir in diesem Dossier kennenlernen werden.

Theorie: Exponentialgesetz

Sorry: Jetzt wird es mal ein bisschen theoretisch. Keine Sorge, dauert nicht lange. Wer aber die folgende Aufgabe zum Wachstum von Bakterien verstanden hat, der kennt ein richtig wichtiges mathematisches Werkzeug, mit dem man in der Physik eine ganze Menge Gesetze herleiten kann - von der Abschwächung von Licht bis zum Zerfallsgesetz (ja, genau!).

Die Aufgabe...

Also: Nehmen wir mal an, in einer Petrischale säße eine einsame Bakterie - allerdings eine sehr aktive: In einer Minute teilt sich diese Bakterie einmal. Nach einer Minute sind die Bakterien schon zu zweit, nach einer weiteren Minute zu viert und so weiter. Die Frage ist: Wie viele Bakterien sitzen nach einer Stunde in der Petrischale? Diese Aufgabe lässt sich mit Hilfe einer Differentialgleichung lösen. Wem die Herleitung zu kompliziert ist (oder wer gleich wissen will, was rauskommt), der kann direkt zur Zusammenfassung springen.

Bakterienwachstum als Differentialgleichung I

Wie könnte man die Anzahl der Bakterien A(t) in Formeln übertragen? Zunächst mal gilt ja:

Zeit Anzahl der Bakterien
0. Minute A(t0 = 0) = 1
1. Minute A(t1 = 1) = 2
2. Minute A(t2 = 2) = 4
3. Minute A(t3 = 3) = 8
4. Minute A(t4 = 4) = 16

Wenn man nun wissen will, wie viele Bakterien zurzeit tn leben, kann man der Reihe nach A(t0), A(t1), …, A(tn-1) bestimmen, immer nach der Regel A(ti) = 2 A(ti-1). Das ist aber – besonders bei großen n – ganz schön viel Arbeit.

Besser also, man findet eine einfache Formel für A(t) - und da sind wir jetzt gefragt. Wie viele Bakterien kommen denn pro Zeitschritt tn-tn-1 zu den vorhandenen Bakterien dazu?

Vielleicht mal in einer Formel aufschreiben? 

Bakterienwachstum als Differentialgleichung II

Bei wem jetzt auf dem Rechenzettel so was ähnliches steht wie: „Pro Zeitschritt kommen genauso viele Bakterien dazu, wie zurzeit tn-1 leben”, oder eine solche Formel:

... der hat die Aufgabe super gelöst, und ist obendrein schon fast fertig. Denn wer jetzt genau hinguckt, der erkennt: Links neben dem „=” steht ein Ausdruck, der eine Gerade beschreibt. Wie die aussieht, können wir uns unten auf dem Bild angucken; sie ist rot gezeichnet und „schmiegt” sich an die Kurve an - besonders, wenn man tn und tn-1 nahe zusammen wandern lässt. Das lässt sich mit der Maus mal ausprobieren, indem man auf tn klickt und es nach links zieht.


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Wenn tn und tn-1 in einem Punkt t zusammenrücken, dann ist die Gerade genauso steil wie die Kurve in t: 

Sie hat die Steigung  

Was man mit all dem Wissen anfangen kann, steht im nächsten Fenster.

Bakterienwachstum als Differentialgleichung III

Mit Hilfe der Steigung kann man das Bakterien-Problem jetzt neu formulieren: Gesucht ist eine Funktion A(t) für die Anzahl der Bakterien, deren Steigung in jedem Punkt genau den gleichen Wert hat wie A(t) selbst. Wenn die Funktion also niedrige Werte hat, dann ist sie flach; je höhere Werte sie erreicht, desto steiler wächst sie an.

Probleme, bei denen nach einer Funktion gesucht wird, von der (nur) die Steigung (genauer: die Ableitung) bekannt ist, nennt man „Differentialgleichungen”. Und für die meisten dieser Probleme gibt es keine exakte Lösung...

Das Bakterien-Steigungsproblem ist netterweise eine Ausnahme. Seine Lösung, die Funktion A(t), ist schon seit ein paar Jahrhunderten bekannt. Es ist die Exponentialfunktion:

Wie sich leicht erkennen lässt, passt sie perfekt auf das Bakterienproblem. Wieso leicht erkennen? Zuerst einmal ist M0 = 1, denn zu Beginn war ja nur ein Bakterium da.

Dann ist C = 0, wenn wir davon ausgehen, dass es keine Bakterien gibt, die sich nicht teilen (können), d. h. alle Bakterien sind teilungsfähig und teilen sich auch tatsächlich.

Also lautet unsere Gleichung A(t) = eαt.

Und dann sollten wir uns noch daran erinnern, dass eln2 = 2 ist und schon ergibt sich die Gleichung A(t) = 2t, die perfekt unser Bakterienproblem beschreibt.

Die Exponentialfunktion in der Physik

Warum ist die Exponentialfunktion so wichtig? Ganz einfach, weil sie in der Physik fast überall vorkommt: Sie ist eine Art mathematischer Schraubenzieher und damit Teil des Basis-Handwerkszeugs.

Mit der Exponentialfunktion kann man zum Beispiel in einem Gas das Verhältnis von angeregten und Teilchen im Grundzustand ausrechnen. Oder man kann ausrechnen, wie schnell sich ein Kondensator entlädt. Man kann mit ihr Schwingungen beschreiben - zum Beispiel die elektromagnetischen Wellen, die ein Handy aussendet - oder berechnen, wie Strahlung in Materie geschluckt wird - und damit zum Beispiel die Helligkeit, die in einer bestimmten Wassertiefe im Meer herrscht, oder die Intensität von Gammastrahlung hinter einer Abschirmung.

Und schließlich kann man mit der Exponentialfunktion den Zerfall von radioaktiven Atomen beschreiben. Wie das geht, steht in den nächsten Abschnitten.

Das Zerfallsgesetz bei Cappuccino

Die Exponentialfunktion aus dem vorangegangenen Abschnitt kann man auch in der Kernphysik sehr vielseitig verwenden - zum Beispiel beim radioaktiven Zerfall. Doch bevor wir damit anfangen, trinken wir erstmal eine Tasse Kaffee. Genauer: Eine Tasse Cappuccino. Und zwar mit viel Milchschaum.

Der Zerfall von Milchschaum

Denn der besteht aus unglaublich vielen kleinen Tröpfchen, die mit der Zeit zerplatzen, bis kein Schaum mehr da ist. Die Anzahl dieser Tröpfchen - und damit die Menge Schaum - kann man mit Hilfe der Exponentialfunktion beschreiben. Die Herleitung und das Zerfallsgesetz funktioniert genau wie beim Zerfall radioaktiver Atome, der im nächsten Abschnitt erörtert wird.

Milchschaum


Milchschaum - Bildquelle: DAtF

Bei genauer Beobachtung des Milchschaumes erkennt man: Pro Zeitintervall zerfällt stets ein konstanter Prozentsatz der Schaumtröpfchen. Bei einem durchschnittlichen Milchschaum können das z. B. 30 Prozent pro Minute sein.

Das heißt: Pro Zeiteinheit verringert sich der Milchschaum um 0,3 mal der aktuellen Menge Milchschaum, oder:

Kommt uns diese Gleichung nicht irgendwie bekannt vor? Genau, sie sieht genauso aus wie die Gleichung vom Bakterienwachstum! Und genauso kann man sie auch lösen... Versuchen wir es doch mal, und gucken dann im nächsten Fenster nach, ob wir richtig liegen.

Michschaumanimation

Die Gleichung, die die Menge an Milchschaum in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt, lautet einfach:

Das Minus vor dem 0,3 kommt davon, dass die Tröpfchen zerfallen und das der Wert 0,3 etwas mit der Geschwindigkeit zu tun hat, mit der der Milchschaum zusammenfällt, ist klar. Wie die Zusammenhänge genau sind, erklären die folgenden Abschnitte.

Wie der Zerfall mathematisch funktioniert

Jetzt ist klar, wofür das M0 steht: Dieser Wert verschiebt die Zerfallskurve entlang der x-Achse. Ist M0 = 1, dann startet die Kurve beim Wert 1, weil e hoch 0 = 1. Ist M0 größer als 1, dann startet der Zerfall mit mehr Milchschaum, und bei M0 

Es gibt damit so etwas wie die Anfangsmenge an Milchschaum vor.

Und was ist mit α?

Bislang haben wir angenommen, dass der Wert für α 0,3 pro Minute ist. Aber es gibt auch Schäume, die schneller oder langsamer zerfallen; entsprechend kann α auch kleinere oder größere Werte annehmen. Man kann also mit Hilfe von M und α die Zerfallsformel an die Wirklichkeit anpassen.

Mal ein Beispiel: Angenommen, die Schaummenge betrage zu Anfang 250 cm³; nach 6 Minuten sind noch 50 cm³ vorhanden. Wie groß muss man dann M0 und α wählen? Zum Ausrechnen ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion erforderlich, der Logarithmus ln. Wer noch nie was davon gehört hat, kann die Werte auch mit Hilfe der Cappuccinoschaum-Animation durch Probieren herausfinden.

… und das Zerfallsgesetz bei Atomen

So, das Zerfallsgesetz von Milchschaum ist jetzt bekannt - und damit auch das von radioaktiven Atomen. Denn der funktioniert ganz analog: Genau wie beim Schaum von Cappuccino kann man auch bei einer Probe eines radioaktiven Stoffes nicht vorhersagen, welches Tröpfchen bzw. Atom als nächstes zerfallen wird. Sicher ist nur eines: Pro Zeiteinheit zerfällt stets der gleiche Prozentsatz der noch vorhandenen Atome.

Das Zerfallsgesetz

Das Zerfallsgesetz für radioaktive Atome lautet - ganz analog zum Zerfallsgesetz beim Milchschaum:

Weil man meistens die Menge der noch vorhandenen radioaktiven Atome mit der Ausgangsanzahl von Atomen ins Verhältnis setzt, findet man in Formelsammlungen in der Regel folgende - gleichbedeutende - Formel:

Mit Hilfe dieser Formel lässt sich jetzt schon einiges über den Zerfall radioaktiver Stoffe vorhersagen. Welchen der folgenden Aussagen kann man wohl zustimmen? (Mehrere Antworten sind hier möglich.)

a) Am Anfang zerfallen extrem viele Atome, im Laufe der Zeit werden es immer weniger.

Richtig!

Die Anzahl der Atome, die zerfallen können, nimmt exponentiell ab – erst schnell, dann immer langsamer.

b) Wenn man lange genug wartet, ist kein Atom mehr da, das zerfallen könnte.

Richtig!

Es ist wie beim Milchschaum: Irgendwann (theoretisch aber erst nach unendlich langer Zeit) ist keiner mehr da.

c) Das Verhältnis von ursprünglich vorhandenen und derzeit noch vorhandenen Atomen ist konstant.

Falsch!

Das Verhältnis wird durch die Exponentialfunktion beschrieben, und die ändert sich mit der Zeit. Sogar ziemlich stark!

d) Die radioaktiven Atome nehmen exponentiell zu.

Falsch!

Die Zahl der radioaktiven Atome ist M0>0 und muss abnehmen – ist ein Atom mal zerfallen, dann steht es für den Zerfall nicht mehr zur Verfügung. Also muss die Funktion abfallen – und weil es eine Exponentialfunktion ist, fällt sie exponentiell.

e) α ist eine Konstante, die bestimmt, wie schnell die Atome zerfallen.

Richtig!

Und was es genau mit α auf sich hat, erfährst Du im nächsten Abschnitt.

 

Die Halbwertszeit

Wie lange dauert es, bis radioaktive Atome zerfallen? Für ein einzelnes, ausgewähltes Atom kann man nicht sagen, ob es in der nächsten Millisekunde zerfallen wird oder noch eine Woche oder gar ein Jahrhundert „lebt”. Für eine große Anzahl von Atomen kann man dagegen mit Hilfe des Zerfallsgesetzes sehr wohl statistische Aussagen machen.

Wie schnell die Atome im Mittel zerfallen, gibt die Konstante α an. Sie ist typisch für jedes Isotop; in ihr verbirgt sich die Halbwertszeit, mit deren Hilfe man auch das Zerfallsgesetz nochmal etwas anders formulieren kann.

Und wie schnell ist das jetzt?

Das kann man allgemein nicht sagen; es hängt ganz vom jeweiligen Isotop ab: Die Halbwertszeit kann zwischen wenigen Millisekunden und einigen Quadrillionen Jahren liegen.

Wie hängen α und die Halbwertszeit zusammen?

Die Animation zeigt, wie ein beliebiger Stoff zerfällt. In diesem Beispiel beträgt seine Halbwertszeit eine Stunde. Halbwertszeit: Die Zeit, bis die Hälfte zerfallen ist.


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Wie groß ist die Halbwertszeit?

Wie groß die Halbwertszeit ist, hängt von der Wahrscheinlichkeit ab, mit der die Atome eines bestimmten Isotops zerfallen. In dieser Halbwertszeit-Liste lassen sich verschiedene radioaktive Isotope auswählen und damit die zugehörige Halbwertszeit erfahren.

Wer findet zuerst ein Isotop, das nur eine Halbwertszeit von ein paar Sekunden besitzt? Und wie groß ist die Halbwertszeit des Kohlenstoff-Isotops C-14?


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s = Sekunde
m = Minute
h = Stunde
d = Tag
a = Jahr 
 

Warum gerade diese Halbwertszeit den Wissenschaftlern sehr nützlich ist, erklärt der nächste Abschnitt.

Die C-14 Methode

Kennt jemand schon die C-14-Methode zur Altersbestimmung aus dem Physikmodul über Strahlungsarten? Weil uns das Zerfallsgesetz nun bereits sehr geläufig ist, können wir damit selbst das Alter von Knochen ausrechnen.

Durch Kernreaktionen der kosmischen Strahlung mit dem Stickstoff in der Stratosphäre entsteht ständig das radioaktive Kohlenstoff-Isotop C 14. Durch diese ständige Neubildung und den radioaktiven Zerfall des C-14 stellt sich einerseits ein Gleichgewicht der vorhandenen Menge von C-14 und andererseits ein Gleichgewicht im Verhältnis zwischen dem radioaktiven C-14 und dem nicht-radioaktiven C-12 ein. Durch die Fotosynthese wird das in der Luft vorkommende CO2 mit seinem natürlichen Verhältnis von C-12 zu C-14 in die lebende Pflanze eingebaut und gelangt so auch in alle kohlenstoffhaltigen Verbindungen in Mensch und Tier.

Stirbt jetzt das Lebewesen, so beginnt die C-14-Stoppuhr zu laufen. Denn jetzt wird kein neuer Kohlenstoff mehr zugeführt - weder C-12 noch C-14 - und durch den radioaktiven Zerfall des C-14 wird sein Anteil im Vergleich zum nicht-radioaktiven C-12 immer geringer.

Ein Gramm Kohlenstoff in einem Lebewesen enthält etwa 6 mal 10 hoch 10 Atome des Isotops C-14. Die Halbwertszeit dieser Atome lässt sich im Halbwertszeitenfinder heraussuchen.

Leider hat auch die C-14-Methode ihre Grenze bei etwa 50.000 bis 70.000 Jahren. Andere Datierungsverfahren mit Radionukliden, wie die Kalium-Argon- oder die Rubidium-Strontium-Methode ermöglichen bei Gesteinen eine Altersbestimmung im Bereich von 200 bis 2.000 Millionen Jahren.

Zerfallszeit - Zusammenfassung

Jetzt kennen wir das Zerfallsgesetz für Milchschaum und für radioaktive Atome und wissen daher, dass Schaum oder Atome exponentiell zerfallen: In gleichen Zeiträumen zerfällt immer der gleiche Prozentsatz einer Probe. Das heißt aber auch: Am Anfang zerfallen in jedem Zeitschritt die meisten Atome, und der Zerfall kann sehr lange dauern.

Einer dieser Zeiträume ist die Halbwertszeit, die man beim radioaktiven Zerfall definiert: Sie ist die Zeit, in der 50 Prozent der Atome zerfallen.

Die Exponentialfunktion wird noch in einem anderen Bereich der Kernphysik gebraucht: Bei der Absorption von Strahlung.

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